Algebra
L'algebra (da l'arabu الجبر, al-ǧabr, "cumpletamentu") hè una branca di a matematica chì tratta di u studiu di sistemi astratti, cunnisciuti cum'è strutture algebriche è di a manipulazione di e spressione interne à quelli sistemi. In particulare, gran parte di l'algebra moderna si cuncentra nantu à u studiu di i sistemi numerichi, e funzione polinomiale, è strutture astratte cum'è gruppi, campi, spazii vetturiali è anelli. Hè una generalizazione di l'aritmetica chì introduce variabile è operazione algebriche diverse da quelle fundamentale cum'è l'addizione è a multiplicazione trà numeri.
L'algebra elementare hè a forma principale di algebra insegnata in e scole. Studieghja spressione matematiche chì impliceghjanu elementi litterali. In particulare studieghja l'equazione, à traversu l'usu di variabile litterale per i valori szcunnisciuti, cù l'obiettivu di determinà per chì valori tale ugualianze diventanu vere. L'algebra lineare hè una branca ulteriore, chì studieghja l'equazione lineare è i so sistemi, cù u fine di truvà quelli valori chì risolvenu tutte l'equazione di u sistema contempuraneamente.
L'algebra moderna, invece, s'interessa à e strutture astratte è a so capacità di ragruppà casi concreti chì si comportanu in u stessu modu. Per indettu: i numeri interi è i polinomi à coefficienti raziunali ubbidiscenu à regule assai simile, postu chì tramindui questi cuncetti ponu esse ridutti à i duminii euclidei. Dunque, studià e strutture astratte (cum'è i duminii euclidei) hè un avantaghju perchè permette di derivà teoremi generalizabili à un numeru elevatu di oghjetti matematichi.
L'algebra permette di risolve prublemi specifichi è cumplessi (cum'è in u casu di l'insolubilità di l'equazione quintica), ma si presta ancu à un approcciu astrattu è generale, à traversu a classificazione di e strutture astratte (cum'ellu hè accadutu in u casu di i gruppi simplici finiti). L'algebra hà varie applicazione, in ampie aree di u sapè. Tra di elle figura a teoria di i numeri, a geometria è a fisica matematica.
Storia di l'algebra
[mudificà | edità a fonte]U termine algebra (da l'arabu الجبر, al-ǧabr chì significheghja "unione", "cunnessione" o "cumpletamentu", ma ancu "aghjustà" o "ricumpone") deriveghja da u libru di u matematicu persianu Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī, intitulatu Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala ("Cumpendiu nantu à u calculu per cumpletamentu è bilanciamentu"), cunnisciutu ancu in a forma breve Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, chì tratta di a risoluzione di l'equazione di prima è di secondu gradu.
I primi rudimenti di algebra simbolica appariscenu cù Diofantu di Alessandria (III sèculu d.C. ca.).
Ci sò ancu parechje testimunianze nantu à prublemi algebrichi simplici di l'Anticu Egittu, di a Grecia arcaica è di a Mesopotamia, di matematichi chì fecenu usu di pruprietà attinenti à l'algebra elementare.
Algebra retorica
[mudificà | edità a fonte]Algebra priva in tuttu di simboli, descritta à parolle, secondu a tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.
Algebra sincopata
[mudificà | edità a fonte]Algebra descrittiva, ma cù nutazione simboliche, cum'è quella usata da u grecu Diofantu di Alessandria.
Algebra simbolica
[mudificà | edità a fonte]Algebra in a quale i cuncetti sò raprisentati in simboli, usata oghje in tuttu u mondu, hè nata in l'antica India è sviluppata dopu in u XVI sèculu da i matematichi europei.
Cuncetti di l'algebra
[mudificà | edità a fonte]Numeri
[mudificà | edità a fonte]Un numeru hè un oghjettu astrattu, usatu per misurà una quantità.
I numeri più usati sò i numeri naturali N: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… sò i numeri usati per cuntà.
Aghjunghjendu à questi i numeri negativi, per via di u segnu menu, si ottenenu tutti i numeri interi Z: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Aghjunghjendu à questi e frazione si ottenenu tutti i numeri raziunali Q: −6, −3/2, 27/4, …
Infine, i numeri reali R cuntenenu molti altri numeri chì ùn ponu esse espressi cum'è frazione, cum'è per esempiu: √2, π, e, …
Aghjunghjendu à questi un elementu i, chjamatu unità imaginaria, tale chì i² = −1, si ottenenu i numeri cumplessi C: 2 − i, √2 + 3i, πi, …
Ogni inseme hè inclusu in u successivu. Per esempiu, u numeru −3 ùn hè micca un numeru naturale, ma hè un numeru interu: dunque hè ancu raziunale, reale è cumplessu.
Operazione
[mudificà | edità a fonte]Cù l'operazione aritmetiche di addizione, suttrazzione, multiplicazione è divisione hè pussibile di manipulà i numeri è scrive spressione di u tipu:
1 + 3/2; 3 × √8; 8 − 2²; 3i(5i).
U stessu numeru pò esse scrittu in modu diversu, per esempiu:
1 = 3 − 2 = 5⁰ = 7/7 = −i².
Custante è variabile
[mudificà | edità a fonte]L'algebra elementare hè un'evoluzione di l'aritmetica: oltre à i numeri è à e quattru operazione, in algebra si face usu di simboli litterali chì (secondu u cuntestu) ponu esse cunsiderati numeri custanti o variabili. Per esempiu:
1 + c; x² − 1; (a + b)².
Usendu simboli litterali hè pussibile enuncià teoremi chì sò validi in cuntesti assai generali. Per esempiu, u quadratu di u binomiu:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
hè un'ugualianza valida per qualsiasi valore di a è b.
Polinomi
[mudificà | edità a fonte]Un polinomiu hè un'espressione algebrica ottenuta manipulendu parechje custante è variabile cù l'operazione di addizione, suttrazzione è multiplicazione (ma micca a divisione). Per esempiu:
p(x) = 3x² + x − c
hè un polinomiu cù variabile x. Un polinomiu pò avè più di una variabile, per esempiu:
q(x, y, z) = xyz − 3
hà trè variabile x, y, z.
Una radica di un polinomiu cù una sola variabile x hè un valore numericu x₀ per u quale vale: p(x₀) = 0.
Determinà e radiche di un polinomiu equivali dunque à risolve un'equazione, in a quale u polinomiu hè postu uguale à zeru. Esistenu formule generale per determinà e radiche di un polinomiu di gradu 1, 2, 3 o 4. Per esempiu, un polinomiu di secondu gradu:
ax² + bx + c
pò avè à u massimu duie radiche reale, determinate da a formula
x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a.
Se l'argumentu di u radicale b² − 4ac hè negativu, u polinomiu ùn hà micca radiche reale. Per u teorema di Abel-Ruffini, ùn esistenu micca formule risolutive generale per equazione di gradu maiore o uguale à 5.
Un polinomiu pò ùn avè micca radiche reale. U teorema fundamentale di l'algebra accerta però chì ùn esiste micca sempre (almenu) una radica cumplessa.
Settori di l'algebra
[mudificà | edità a fonte]Algebra elementare
[mudificà | edità a fonte]L'algebra elementare pò esse introdutta cum'è generalizazione è estensione di l'aritmetica, tramite l'introduzione di oghjetti simbolichi, chjamati variabile è custante, denutati di solitu cù lettere di l'alfabetu.
À e spressione custruite cù l'usu di e variàbile è di e custante, s'appiecanu l'operazione aritmetiche di addizione, differenza (più generalmente, somma algebrica), multiplicazione è divisione. In questu modu sò introdutti è studiati oghjetti cum'è i polinomii è l'equazione, è studiati i metudi per truvà ne l'eventuali radiche di i primi è soluzione di e seconde.
Algebra lineare
[mudificà | edità a fonte]L'algebra lineare studieghja e matrice è i spazii vetturiali. Un spaziu vetturiale hè una generalisazione astratta di a nuzione di l'inseme di i vettori di u pianu (o di u spaziu) in sensu fisicu. Unu di i so principali avantaghji hè a pussibilità d'introduce spazii di qualunque dimensione (ancu infinita). Hè appiicata ancu per studià l'equazione lineari, vene à dì l'equazione omogenee di primu gradu. L'appiicazione di l'algebra lineare sò d'impurtanza fundamentale in fisica, in molte branche (ancu micca algebriche) di a matematica è in altre discipline scientifiche.
Algebra computaziunale
[mudificà | edità a fonte]L'algebra computaziunale studieghja l'algoritmi per a manipulazione simbolica di oghjetti matematici.